题目内容
已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=
（an-1）（n∈N*，q是大于0的常数，且q≠1），数列{bn}是公比不为q的等比数列，cn=an+bn．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设q=2，bn=3n，是否存在实数λ，使数列{cn+1+λcn}是等比数列？若存在，求出所有可能的实数λ的值，若不存在说明理由；
（Ⅲ）数列{cn}是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的q和bn的组合，若不能，请说明理由．
| q |
| q-1 |
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设q=2，bn=3n，是否存在实数λ，使数列{cn+1+λcn}是等比数列？若存在，求出所有可能的实数λ的值，若不存在说明理由；
（Ⅲ）数列{cn}是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的q和bn的组合，若不能，请说明理由．
（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
(an-1)-
(an-1-1)，
整理得an=qan-1
又由S1=a1=
(a1-1)，得a1=q
结合q＞0知，数列an是首项为q公比为q的等比数列，
∴an=q•qn-1=qn
（Ⅱ）结合（Ⅰ）知，当q=2时，an=2n，所以cn=2n+3n
假设存在实数λ，使数列cn+1+λcn是等比数列，则对任意n≥2有
（cn+1+λcn）2=（cn+2+λcn+1）（cn+λcn-1），将cn=2n+3n代入上式，得：
[2n+1+3n+1+λ（2n+3n）]2=[2n+2+3n+2+λ（2n+1+3n+1）]•[2n+3n+λ（2n-1+3n-1）]，
即[（2+λ）2n+（3+λ）3n]2=[（2+λ）2n+1+（3+λ）3n+1][（2+λ）2n-1+（3+λ）3n-1]，
整理得
（2+λ）（3+λ）•2n•3n=0，解得λ=-2或λ=-3．
故存在实数实数λ=-2或-3，使使数列cn+1+λcn是等比数列．
（Ⅲ）数列{cn}不可能为等比数列．
理由如下：设等比数列{bn}的公比分别为p，则由题设知p≠q，则cn=qn+b1pn-1
为证{cn}不是等比数列只需证c22≠c1•c3．
事实上，c22=（q2+b1p）2=q4+2q2b1p+b12p2，①
c1•c3=（q+b1）（q3+b1p2）=q4+b12p2+b1q（p2+q2），．②
②-①得
c1c3-c22=b1q（p2+q2-2pq）
由于p≠q时，p2+q2＞2pq，又q及等比数列的首项b1均不为零，
所以c1c3-c22≠0，即c22≠c1•c3．故{cn}不是等比数列．
| q |
| q-1 |
| q |
| q-1 |
整理得an=qan-1
又由S1=a1=
| q |
| q-1 |
结合q＞0知，数列an是首项为q公比为q的等比数列，
∴an=q•qn-1=qn
（Ⅱ）结合（Ⅰ）知，当q=2时，an=2n，所以cn=2n+3n
假设存在实数λ，使数列cn+1+λcn是等比数列，则对任意n≥2有
（cn+1+λcn）2=（cn+2+λcn+1）（cn+λcn-1），将cn=2n+3n代入上式，得：
[2n+1+3n+1+λ（2n+3n）]2=[2n+2+3n+2+λ（2n+1+3n+1）]•[2n+3n+λ（2n-1+3n-1）]，
即[（2+λ）2n+（3+λ）3n]2=[（2+λ）2n+1+（3+λ）3n+1][（2+λ）2n-1+（3+λ）3n-1]，
整理得
| 1 |
| 6 |
故存在实数实数λ=-2或-3，使使数列cn+1+λcn是等比数列．
（Ⅲ）数列{cn}不可能为等比数列．
理由如下：设等比数列{bn}的公比分别为p，则由题设知p≠q，则cn=qn+b1pn-1
为证{cn}不是等比数列只需证c22≠c1•c3．
事实上，c22=（q2+b1p）2=q4+2q2b1p+b12p2，①
c1•c3=（q+b1）（q3+b1p2）=q4+b12p2+b1q（p2+q2），．②
②-①得
c1c3-c22=b1q（p2+q2-2pq）
由于p≠q时，p2+q2＞2pq，又q及等比数列的首项b1均不为零，
所以c1c3-c22≠0，即c22≠c1•c3．故{cn}不是等比数列．
练习册系列答案
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且方向向量为
的直线交椭圆
于
两点，记原点为
,
面积为
,则
_______