题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
是等边三角形,
,
,
.
(1)若,求三棱锥
的体积;
(2)若,则在线段
上是否存在一点
,使平面
平面
.若存在,求线段
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
【解析】
(1)由得
,再证
平面
,即可计算出三棱锥
的体积;
(2)当是
的三等分点时,满足条件. 作
,交
于
,连接
,可证明
,进而证明平面
平面
.
(1)因为是等边三角形,
,所以
.又因为
,
,
所以,所以
.
又,
平面
,
,所以
平面
.
所以三棱锥的体积
;
(2)在线段上存在一点
,使平面
平面
.此时
.
理由如下:
如图,作,交
于
,连接
,
因为,所以
是
的三等分点,可得
,
因为,
,
,
所以,因为
,所以
,
因为,所以
,所以
,
因为,所以
,所以
,
因为平面
,
平面
,所以
平面
,
又,
平面
,
平面
,所以
平面
,
因为,
平面
,所以平面
平面
,
所以在线段上存在一点
,使平面
平面
.此时
.

【题目】跨年迎新联欢晚会简称跨年晚会,是指每年阳历年末12月31日晚上各电视台和政府为喜迎新而精心策划的演唱会活动,跨年晚会首次出现在港台地区,跨年晚会因形式和举办地不同因而名称也不同,如央视启航2020跨年盛典,湖南卫视跨年演唱会,东方卫视迎新晚会等.某电视台为了了解2020年举办的跨年迎新晚会观众的满意度,现分别随机选出名观众对迎新晚会的质量评估评分,最高分为
分,综合得分情况如下表所示:
综合得分 | |||||||
观众人数 | 5 | 10 | 25 | 30 | 15 | 10 | 5 |
根据表中的数据,回答下列问题:
(1)根据表中的数据,绘制这位观众打分的频率分布直方图;
(2)已知观众的评分近似服从
,其中
是反应随机变量
取值的平均水平的特征数,工作人员在分析数据时发现,可用
位观众评分的平均数估计
,但由于评分观众人数较少,误差较大,所以不能直接用
位观众评分的标准差的值估计
,而在这
位观众打分的频率分布直方图的基础上依据
来估计
更科学合理,试求
和
的估计值(
的结果精确到小数点后两位).
【题目】某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如下:
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
频数 | 6 | a | 24 | b |
(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;
(2)其他条件不变在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈,每次抽取1人,求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下,第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率;
(3)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求
的数学期望
.