题目内容
10．以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．圆C的圆心C的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），半径r=$\sqrt{2}$．（1）在极坐标系中，直线θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）与圆C交于两点，求两点间的距离；
（2）在直角坐标系xOy中，过圆C内的定点M（1，0）作直线l，直线l与圆C交于A，B两点，以直线l的倾斜角为参数，求弦AB中点N的轨迹方程．
分析 （1）求出圆C的、直线的直角坐标方程，可求圆心到直线的距离，利用勾股定理求两点间的距离；
（2）设直线l的倾斜角为θ，则由题意，∠MCN=θ，CN=cosθ，即可求出弦AB中点N的轨迹方程．
解答 
解：（1）圆C的圆心C的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），半径r=$\sqrt{2}$，直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2．
直线θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}$x，
圆心到直线的距离为$\frac{|\sqrt{3}-1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴两点间的距离为2$\sqrt{2-（\frac{\sqrt{3}-1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；
（2）设直线l的倾斜角为θ，则由题意，∠MCN=θ，CN=cosθ
设N（x，y），则x=1+CNsinθ=1+cosθsinθ，y=1-cos2θ，
即弦AB中点N的轨迹方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθsinθ}\\{y=1-co{s}^{2}θ}\end{array}\right.$．
点评 本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查学生的计算能力，正确转化是关键．
练习册系列答案
相关题目
11．设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$a＞0）右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1，x2，则x12+x22的取值范围是（ ）
| A． | （0，$\frac{3}{2}$] | B． | （1，$\frac{3}{2}$] | C． | （1，$\frac{3}{4}$] | D． | （1，$\frac{7}{4}$] |
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
如图正四棱锥S-ABCD，底面边长为2，P为侧棱SD上靠近D的三等分点，
5．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（ ）
| A． | $\root{3}{4V}$ | B． | $\root{3}{6V}$ | C． | $\root{3}{8V}$ | D． | $\sqrt{4V}$ |
15．
如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（ ）
如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（ ）| A． | AC⊥平面ABB1A1 | B． | CC1与B1E是异面直线 | ||
| C． | A1C1∥B1E | D． | AE⊥BB1 |
19．
已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由y=cos2x图象（ ）
已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由y=cos2x图象（ ）| A． | 向右平移$\frac{π}{3}$个长度单位 | B． | 向左平移$\frac{π}{3}$个长度单位 | ||
| C． | 向右平移$\frac{π}{6}$个长度单位 | D． | 向左平移$\frac{π}{6}$个长度单位 |
如图，四棱锥P-ABCD中，AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2，且$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{AB}$．