Question

5．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（　　）

• A． $\root{3}{4V}$
• B． $\root{3}{6V}$
• C． $\root{3}{8V}$
• D． $\sqrt{4V}$

Answer 1

分析 设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh得出h，再根据表面积公式得S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²+$\frac{4\sqrt{3}V}{a}$，最后利用导函数即得底面边长．

解答 解：设底边边长为a，高为h，
则V=Sh=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²×h，
∴h=$\frac{4\sqrt{3}V}{3{a}^{2}}$，
则表面积为S=3ah+2•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²+$\frac{4\sqrt{3}V}{a}$，
则S′=$\sqrt{3}$a-$\frac{4\sqrt{3}V}{{a}^{2}}$，
令$\sqrt{3}$a-$\frac{4\sqrt{3}V}{{a}^{2}}$=0可得a=$\root{3}{4V}$．
故选：A

点评 本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于中档题．