题目内容
(本小题满分12分)
如图,与都是边长为2的正三角形,平面平面,平面BCD,.求点A到平面MBC的距离。
如图,与都是边长为2的正三角形,平面平面,平面BCD,.求点A到平面MBC的距离。
解法一: (Ⅰ)如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
∵AP=AB=2,BC=AD=,四边形ABCD是矩形.
∴A,B,C,D,P的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0),D(0,,0),P(0,0,2),
又E,F分别是AD,PC的中点,
∴E(0,,0),F(1,,1).
∴=(2,,-2)=(-1,,1)=(1,0,1),
∴·=-2+4-2=0,·=2+0-2=0,
∴⊥,⊥,
∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,
∴PC⊥平面BEF,
(II)由(I)知平面BEF的法向量,
平面BAP 的法向量,
∴. 设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ,
则,
∴ θ=45°, ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45°.
解法二 (I)连接PE,EC在和中.
PA="AB=CD," AE=DE,
∴ PE=" CE," 即 △PEC 是等腰三角形,
又F是PC 的中点,∴EF⊥PC,
又,F是PC 的中点,
∴ BF⊥PC.
又,∴.
(II)∵∴,
又ABCD是矩形,∴ABBC
∴BC平面BAP,BCPB,
又由(Ⅰ)知PC平面BEF,
∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角,
在中,∴
所以平面BEF与平面BAP的夹角为45°.
∵AP=AB=2,BC=AD=,四边形ABCD是矩形.
∴A,B,C,D,P的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0),D(0,,0),P(0,0,2),
又E,F分别是AD,PC的中点,
∴E(0,,0),F(1,,1).
∴=(2,,-2)=(-1,,1)=(1,0,1),
∴·=-2+4-2=0,·=2+0-2=0,
∴⊥,⊥,
∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,
∴PC⊥平面BEF,
(II)由(I)知平面BEF的法向量,
平面BAP 的法向量,
∴. 设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ,
则,
∴ θ=45°, ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45°.
解法二 (I)连接PE,EC在和中.
PA="AB=CD," AE=DE,
∴ PE=" CE," 即 △PEC 是等腰三角形,
又F是PC 的中点,∴EF⊥PC,
又,F是PC 的中点,
∴ BF⊥PC.
又,∴.
(II)∵∴,
又ABCD是矩形,∴ABBC
∴BC平面BAP,BCPB,
又由(Ⅰ)知PC平面BEF,
∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角,
在中,∴
所以平面BEF与平面BAP的夹角为45°.
略
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