题目内容
【题目】已知圆心C在直线上的圆过两点
,
.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线与圆C相交于A,B两点,①当
时,求AB的方程;②在y轴上是否存在定点M,使
,若存在,求出M的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)见解析,
【解析】
(1)设圆的方程为,根据已知条件列出方程组,解方程组即得;(2)①直线与圆相交于A,B两点,AB的长度和圆的半径已知,则可知圆心到直线的距离,再由点到直线的距离公式,可解得直线斜率k,即得直线方程;②设
,
,
三点的坐标,根据题意可知直线MA、MB的斜率存在,设斜率分别为
,
,将
与圆的方程联立消去y,可得关于x的一元二次方程,用A,B,M的坐标表示
,
,出若
,则有
,根据韦达定理将
转化为含有k和m的式子,可知点M存在,并求出点M的坐标。
解:(1)设圆C的方程为,
则有
解之得,
所以,圆C的方程为.
(2)①当时,圆心C到直线AB的距离
,
又,
∴,
解得,
所以AB的方程是:或
.
②设、
、
,
由题意知直线MA、MB的斜率存在,分别记为、
,
把代入
,
整理得,
于是,
,
,
∴
,
当且仅当时,对任意的k均有
,即有
.
所以,存在点满足要求.

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