Question

18．△ABC中，AB=2，BC=$\sqrt{10}$，AC=3，O是△ABC的外心，求满足下列关系式$\overrightarrow{AO}$=p•$\overrightarrow{AB}$+q•$\overrightarrow{AC}$的实数p，q的值．

Answer 1

分析 可分别取AB，AC的中点D，E，并连接OD，OE，从而有OD⊥AB，OE⊥AC，而由余弦定理可以得到cos∠BAC=$\frac{1}{4}$．对等式$\overrightarrow{AO}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$的两边分别乘向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$，进行数量积的运算便可得出关于p，q的方程组：$\left\{\begin{array}{l}{2=4p+\frac{3}{2}q}\\{\frac{9}{2}=\frac{3}{2}p+9q}\end{array}\right.$，解方程组便可得出p，q的值．

解答 解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥AC；

在△ABC中，AB=2，BC=$\sqrt{10}$，AC=3；
∴由余弦定理得，$cos∠BAC=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{4+9-10}{12}=\frac{1}{4}$；
由$\overrightarrow{AO}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$得：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=p{\overrightarrow{AB}}^{2}+q\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}\\{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=p\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+q{\overrightarrow{AC}}^{2}}\end{array}\right.$；
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AO}||\overrightarrow{AB}|cos∠BAO$=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|=2×1=2$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AE}|=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=4p+\frac{3}{2}q}\\{\frac{9}{2}=\frac{3}{2}p+9q}\end{array}\right.$；
解得$p=\frac{1}{3}，q=\frac{4}{9}$．

点评 考查三角形外心的定义，余弦定理，以及数量积的运算及其计算公式，余弦函数的定义．