Question

【题目】某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．

（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．

（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；

（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；

（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ）（ⅱ）分布表见解析；（2）理由见解析

【解析】

（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率．
（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列．
（2）假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P（X＜4）=P（X=0）+ P（X=2）=，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解．

（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，

则家长对小孩的排序是随意猜测的，

先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，

其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：

2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，

∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．

基小孩对四种食物的排序是其他情况，

只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，

假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，

再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，

∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．

（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，

列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，

X的分布列如下表：

X	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
P

（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．

理由如下：

假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，

P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，

三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，

这个结果发生的可能性很小，

∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．