Question

18．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，S是该三角形的面积，若向量$\overrightarrow m=（{2sinB，cos2B}），\overrightarrow n=（{2{{cos}^2}（{\frac{π}{4}+\frac{B}{2}}），-1}）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}$-1．
（1）求角B的大小；
（2）若B为锐角，a=6，S=6$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示，由二倍角公式，以及特殊角的三角函数值，可得角B；
（2）运用三角形的面积公式，可得c，再由余弦定理，可得b．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow m=（{2sinB，cos2B}），\overrightarrow n=（{2{{cos}^2}（{\frac{π}{4}+\frac{B}{2}}），-1}）$，
且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}$-1，
即为2sinB•2cos²（$\frac{π}{4}$+$\frac{B}{2}$）-cos2B=$\sqrt{3}$-1，
即有2sinB（1+cos（$\frac{π}{2}$+B））-cos2B=$\sqrt{3}$-1，
即2sinB-2sin²B-（1-2sin²B）=$\sqrt{3}$-1，
即有sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$；
（2）B为锐角，即有B=$\frac{π}{3}$，
a=6，S=6$\sqrt{3}$，即有S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$•6c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
解得c=4，
由余弦定理b²=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$
=36+16-2×6×4×$\frac{1}{2}$=28，
解得b=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查余弦定理和面积公式的运用，以及二倍角公式的运用，属于中档题．