题目内容
【题目】如图,在四棱锥P一ABCD中,已知,点Q为AC中点,
底面ABCD,
,点M为PC的中点.
(1)求直线PB与平面ADM所成角的正弦值;
(2)求二面角D-AM-C的正弦值;
(3)记棱PD的中点为N,若点Q在线段OP上,且平面ADM,求线段OQ的长.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
以O为原点,分别以向量的方向为x轴,y轴,z轴正方向,可以建立空间直角坐标系,(1)求出直线PB的方向向量,利用向量垂直数量积为零列方程求出平面ADM的法向量,可求直线PB与平面ADM所成角的正弦值;(2)由已知可得
平面
,故
是平面
的一个法向量,结合(1)中平面ADM的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可求二面角D-AM-C的余弦值,从而可得正弦值;(3)设线段OQ的长为
,则点Q的坐标为
,由已知可得点N的坐标为
,利用直线
与平面的法向量数量积为零列方程求解即可.
依题意,以O为原点,分别以向量的方向为x轴,y轴,z轴正方向,可以建立空间直角坐标系(如图),可得
,
.
(1)依题意,可得,
设为平面ADM的法向量,则
,
即,不妨设
,可得
,
又, 故
,
直线PB与平面ADM所成角的正弦值为
;
(2)由已知可得,
所以平面
,
故是平面
的一个法向量,
依题意可得,
因此有,于是有
,
二面角D-AM-C的正弦值
;
(3)设线段OQ的长为,则点Q的坐标为
,
由已知可得点N的坐标为,进而可得
,
由平面ADM,故
,
即,解得
,
线段OQ的长为
.
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