题目内容
11.已知函数$f(x)=\frac{4x}{{3{x^2}+3}}$,函数$g(x)=\frac{1}{3}a{x^3}-{a^2}x(a≠0)$,若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[0,2],使f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是( )A. | (0,+∞) | B. | $[\frac{1}{3},1]$ | C. | $[\frac{1}{3},+∞)$ | D. | (0,1] |
分析 求出函数$f(x)=\frac{4x}{{3{x^2}+3}}$,在[0,2]上的值域为[b,c],再求导g′(x)=ax2-a2,从而确定函数的单调性,从而化为最值问题.
解答 解:根据所给条件,函数$f(x)=\frac{4x}{{3{x^2}+3}}$,在[0,2]上的值域[b,c],
$f(x)=\frac{4x}{3{x}^{2}+3}=\frac{4}{3x+\frac{3}{x}}$≤$\frac{4}{2\sqrt{3x•\frac{3}{x}}}$=$\frac{2}{3}$,当且仅当x=1时取等号;x=0时,f(0)=0,x=2时,f(2)=$\frac{8}{15}$
则有b=0且c=$\frac{2}{3}$;函数的值域为:[0,$\frac{2}{3}$].则y=g(x)的值域包含[0,$\frac{2}{3}$]
函数$g(x)=\frac{1}{3}a{x^3}-{a^2}x(a≠0)$,
则g′(x)=ax2-a2=0,a>0时,解得x=$\sqrt{a}$.
当4>a>0时,g′(x)>0,∴$\sqrt{a}$<x≤2;g′(x)<0,∴0≤x<$\sqrt{a}$
∴g(x)在[0,$\sqrt{a}$)上单调递减,在($\sqrt{a}$,2]上单调递增
显然g($\sqrt{a}$)<g(0)=0
由题意可知,g(2)≥$\frac{2}{3}$,即3a2-4a+1≤0,∴$\frac{1}{3}$≤a≤1,
当a≥4时,g′(x)≤0,∴g(x)在[0,2]上单调递减,g(x)≤g(0),不合题意.
当a≤0时,x∈[0,2],$g(x)=\frac{1}{3}a{x}^{3}-{a}^{2}x≤0$,不满足y=g(x)的值域包含[0,$\frac{2}{3}$].
综上,$\frac{1}{3}$≤a≤1.
点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质应用,同时考查了恒成立问题,属于难题.
A. | (-∞,-$\frac{3}{4}$] | B. | [-$\frac{3}{4},0$] | C. | [-2,$\frac{3}{4}$] | D. | [-$\frac{4}{3},1$] |