Question

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1
，下列为真命题的序号为（　　）
①S₂₀₀₉=2009；②S₂₀₁₀=2010；③a₂₀₀₉＜a₂；④S₂₀₀₉＜S₂．

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 由题意可判断a₂＞1，0＜a₂₀₀₉＜1，0＜a₂₀₀₉＜1＜a₂，从而公差d＜0可判断③，两式相加整理可得a₂+a₂₀₀₉=2，利用等差数列的性质可知a₁+a₂₀₁₀=a₂+a₂₀₀₉=2可判断①②，由公差d＜0 可得a₂+a₂₀₀₈＞a₂+a₂₀₀₉＞a₂+a₂₀₁₀，结合等差数列的性质，可得2a₁₀₀₅＞2＞2a₁₀₀₆，从而可得0＜a₁₀₀₆＜1＜a₁₀₀₅，可判断④的正误．

解答 解：由（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1
可得a₂-1＞0，-1＜a₂₀₀₉-1＜0即a₂＞1，0＜a₂₀₀₉＜1，
故可得等差数列的公差d＜0，选项③a₂₀₀₉＜a₂正确；
把已知的两式相加可得（a₂-1）³+2010（a₂-1）+（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=0
整理可得（a₂+a₂₀₀₉-2）•[（a₂-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₂-1）（a₂₀₀₉-1）+2010]=0
结合上面的判断可知（a₂-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₂-1）（a₂₀₀₉-1）+2010＞0
故有a₂+a₂₀₀₉=2，S₂₀₁₀=$\frac{2010（{a}_{1}+{a}_{2010}）}{2}$=2010•$\frac{{a}_{2}+{a}_{2009}}{2}$=2010，故选项②正确；
由于d＜0，a₂₀₁₀＜a₂₀₀₉＜1，则S₂₀₀₉=S₂₀₁₀-a₂₀₁₀=2010-a₂₀₁₀＞2009，故选项①错误；
由公差d＜0 可得a₂+a₂₀₀₈＞a₂+a₂₀₀₉＞a₂+a₂₀₁₀，结合等差数列的列的性质，
可得2a₁₀₀₅＞2＞2a₁₀₀₆，从而可得0＜a₁₀₀₆＜1＜a₁₀₀₅，故s₂₀₀₉-s₂=a₃+a₄+…+a_{2009=2007a1006}＞0，即选项④错误．
故选：B

点评 本题考查了等差数列的性质和求和公式，灵活利用结论是解决问题的关键，属中档题．