Question

14．若直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）和函数y=log_c（x+2）+2（c＞0且c≠1）的图象恒过同一个定点，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据对数函数的图象和性质，求出函数图象所过定点，得到-a-2b+2=0，再由基本不等式，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：∵log_c1=0恒成立，
∴函数log_c（x+2）+2（c＞0且c≠1）的图象恒过一个定点（-1，2），
∴-a-2b+2=0，
即$\frac{1}{2}a+b$=1，
又∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=（\frac{1}{2}a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{3}{2}$+$\frac{b}{a}+\frac{a}{2b}$≥$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{2b}}$=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
当且仅当a=$\sqrt{2}b$时，取等号．
故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，基本不等式，是函数与不等式的综合应用，难度中档．