题目内容
【题目】在平面直角坐标系内，已知点
，圆
的方程为
，点
是圆上任意一点，线段
的垂直平分线
和直线
相交于点
.
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）过点
能否作一条直线
，与点的轨迹交于
两点，且点
为线段
的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）能，
.
【解析】
（1）由题意
，
.由椭圆的定义可得
的轨迹方程；
（2）当直线
的斜率不存在时，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，代入的轨迹方程. 设点
，由点
为线段
的中点，可得
，可求
，即求直线的方程.
（1）连接
，由题意
，
.
又点
在圆内，
.
根据椭圆的定义，点的轨迹是以
为焦点，4为实轴长的椭圆.
其中
，
，
，
所以的轨迹方程为.
（2）易知当直线的斜率不存在时，不符合题意.
设经过点
的直线的方程为，即
把代入轨迹方程，
得
设点，则
，解得
此时方程为
，方程根的判别式为
，所以方程有实数解.
所以直线的方程为.
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【题目】某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近
个月广告投入量
（单位：万元）和收益
（单位：万元）的数据如下表：
月份 |
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广告投入量 |
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收益 |
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他们分别用两种模型①
，②
分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
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（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（Ⅱ）残差绝对值大于
的数据被认为是异常数据，需要剔除：
（ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程
（ⅱ）若广告投入量
时，该模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据
，
，……，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
【题目】已知高中学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，在一次考试中某班7名学生的数学成绩与物理成绩如下表：
数学成绩 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理成绩 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
（1）求这7名学生的数学成绩的极差和物理成绩的平均数；
（2）求物理成绩
对数学成绩
的线性回归方程；若某位学生的数学成绩为110分，试预测他的物理成绩是多少？
下列公式与数据可供参考：
用最小二乘法求线性回归方程
的系数公式：
，
；
，
，
.
【题目】某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间
（天数）与销售单价
（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）.
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1.63 | 37.8 | 0.89 | 5.15 | 0.92 |
| 18.40 |
表中
.
（1）根据散点图判断，
与
哪一个更适合作价格关于时间的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程.
（3）若该产品的日销售量
（件）与时间的函数关系为
，求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
.
