Question

【题目】已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+an ， B（n）=a2+a3+…+an+1 ， C（n）=a3+a4+…+an+2 ， n=1，2，…．
（1）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N* ， 三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式．
（2）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N* ， 三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，

∴B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），

即an+1﹣a1=an+2﹣a2，亦即an+2﹣an+1=a2﹣a1=4．

故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，于是an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3

（2）

证明：（必要性）：若数列{an}是公比为q的等比数列，对任意n∈N*，有an+1=anq．由an＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是

= = =q，

= = =q，

即 = =q，

∴三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列；

（充分性）：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，则

B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），

于是C（n）﹣B（n）=q[B（n）﹣A（n）]，即an+2﹣a2=q（an+1﹣a1），亦即an+2﹣qan+1=a2﹣qa1．

由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2﹣qan+1=0．

∵an＞0，

∴ = =q．故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．

综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列

【解析】（1）由于对任意n∈N* ， 三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，可得到B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），即an+1﹣a1=an+2﹣a2 ， 整理即可得数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，从而可得an ． （2）必要性：由数列{an}是公比为q的等比数列，可证得即 = =q，即必要性成立；充分性：若对任意n∈N* ， 三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，可得an+2﹣qan+1=a2﹣qa1 ． 由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1 ， 从而an+2﹣qan+1=0，即充分性成立，于是结论得证．
【考点精析】本题主要考查了等比关系的确定和等差数列的性质的相关知识点，需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列才能正确解答此题．