Question

【题目】设 ，且 ，求证：a3+b3>a2b+ab2 .(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) )

Answer 1

【答案】【解答】解：方法一(分析法)：
要证 a3+b3>a2b+ab2 成立，
即需证(a+b)(a2-ab+b2) >ab(a+b) 成立.
又因 a+b>0 ，
故只需证a2-ab+b2>ab 成立，
即需证 a2-ab+b2>0 成立，
即需证 (a-b)2>0 成立.
而依题设 ，则 (a-b)2>0 显然成立.
由此命题得证.
方法二(综合法)：
.
注意到 ， a+b>0 ，由上式即得
(a+b)(a2-ab+b2) >ab(a+b) .
所以 a3+b3>a2b+ab2 .
【解析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据分析法、综合法结合所学基本不等式进行分析证明即可.