题目内容
【题目】设椭圆方程为,离心率为
,
是椭圆的两个焦点,
为椭圆上一点且
,
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点,直线
不经过点
且与椭圆交于
两点,若直线
与直线
的斜率之和为1,证明直线
过定点,并求出该定点.
【答案】(1);(2)证明见解析,
.
【解析】试题分析:
(1)由离心率可得,根据
的面积为
得到
,然后在焦点三角形
中利用余弦定理并结合定义可得
,进而得到
,
,于是得到椭圆的方程.(2)由题意设直线
方程为
,联立椭圆方程后得到二次方程,由根与系数的关系及
可得
,故直线方程为
,即
,可得过定点
.
试题解析:
(1)由题意得,故
.
∵,∴
,
又,
,
在中,由余弦定理得
,
∴,
解得,
∴.
∴,
∴椭圆的方程为.
(2)由题意设直线方程为
,
由消去y整理得
,
∵直线与椭圆交于两点,
∴.
设点,
,
则,
由题意得,
即,
∴
整理得,
∴直线方程为
,即
,
∴直线过定点
.
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