题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若在
处取得极值,求
的值;
(2)设,试讨论函数
的单调性;
(3)当时,若存在正实数
满足
,求证:
.
【答案】(1).(2)见解析(3)见解析
【解析】
(Ⅰ)由题意,求得函数的导数,根据
,即可求解;
(Ⅱ)由题意,得
,求得函数的导数
,分类讨论,即可求解函数的单调区间;
(Ⅲ)代入,求出
,令
,
,根据函数的单调性,即可作出证明.
(1)因为,所以
,
因为在
处取得极值,
所以,解得
.
验证:当时,
在
处取得极大值.
(2)解:因为
所以.
①若,则当
时,
,所以函数
在
上单调递增;
当时,
,
函数
在
上单调递减.
②若,
,
当时,易得函数
在
和
上单调递增,
在上单调递减;
当时,
恒成立,所以函数
在
上单调递增;
当时,易得函数
在
和
上单调递增,
在上单调递减.
(3)证明:当时,
,
因为,
所以,
即,
所以.
令,
,
则,
当时,
,所以函数
在
上单调递减;
当时,
,所以函数
在
上单调递增.
所以函数在
时,取得最小值,最小值为
.
所以,
即,所以
或
.
因为为正实数,所以
.
当时,
,此时不存在
满足条件,
所以.
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练习册系列答案
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【题目】某校组织了一次新高考质量测评,在成绩统计分析中,某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:
5 | 6 | 8 | ||||||||
6 | 2 | 3 | 3 | 5 | 6 | 8 | 9 | |||
7 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
8 | ||||||||||
9 | 5 | 8 |
(1)求该班数学成绩在的频率及全班人数;
(2)根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分;
(3)若规定90分及其以上为优秀,现从该班分数在80分及其以上的试卷中任取2份分析学生得分情况,求在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率.