Question

【题目】已知函数f（x）=x3+bx2+cx的极值点为x=﹣ 和x=1
（1）求b，c的值与f（x）的单调区间
（2）当x∈[﹣1，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3+bx2+cx，

∴f'（x）=3x2+2bx+c，

∵f（x）的极值点为x=﹣ 和x=1

∴f'（1）=3+2b+c=0，f'（- ）= ﹣ b+c=0，

解得，b= ，c=﹣2，

∴f'（x）=（3x+2）（x﹣1），

当f'（x）＞0时，解得x＜﹣ ，或x＞1，

当f'（x）＜0时，解得﹣ ＜x＜1，

故函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣ ）和（1，+∞），单调减区间为（﹣ ，1）

（2）解：有（1）知f（x）=x3﹣ x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，

故函数在[﹣1，﹣ ）和（1，2]单调递增增，在（﹣ ，1）单调递减，

当x=﹣ ，函数有极大值，f（- ）= ，f（2）=2，

所以函数的最大值为2，

所以不等式f（x）＜m在x∈[﹣1，2]时恒成立，

故m＞2

故实数m的取值范围为（2，+∞）

【解析】（1）对函数进行求导，令f'（1）=0，f'（- ）=0可求出b，c的值，再利用导数求出函数单调区间即可．（2）根据函数的单调性求出f（x）在[﹣1，2]上的最大值，继而求出m的范围
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．