题目内容
【题目】已知函数,直线
为曲线
的切线(
为自然对数的底数).
(1)求实数的值;
(2)用表示
中的最小值,设函数
,若函数
为增函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)先求导,然后利用导数等于求出切点的横坐标,代入两个曲线的方程,解方程组,可求得
;(2)设
与
交点的横坐标为
,利用导数求得
,从而
,然后利用
求得
的取值范围为
.
试题解析:
(1)对求导得
.....................1分
设直线与曲线
切于点
,则
,解得
,
所以的值为1..........................................3分
(2)记函数,下面考察函数
的符号,
对函数求导得
......................4分
当时,
恒成立.................................5分
当时,
,
从而.....................7分
∴在
上恒成立,故
在
上单调递减.
,∴
,
又曲线 在
上连续不间断,所以由函数的零点存在性定理及其单调性知
唯一的
,使
.
∴;
,
,
∴,
从而,
∴,..........................9分
由函数为增函数,且曲线
在
上连续不断知
在
,
上恒成立.
①当时,
在
上恒成立,即
在
上恒成立,
记,则
,
当变化时,
变化情况列表如下:
3 | |||
0 | |||
极小值 |
∴,
故“在
上恒成立”只需
,即
.
②当时,
,当
时,
在
上恒成立,
综合①②知,当时,函数
为增函数.
故实数的取值范围是
...............................12分
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