题目内容
【题目】如图,PA⊥平面AC,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、PD的中点.
(Ⅰ)求证:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)若二面角P﹣CD﹣B为45°,AD=2,CD=3,求点F到平面PCE的距离.
【答案】解:(Ⅰ)取PC中点M,连接ME、MF. ∵ ,
∴AE∥FM,且AE=FM,
即四边形AFME是平行四边形,
∴AF∥EM,∵AF平在PCE,
∴AF∥平面PCE.
(Ⅱ)∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,
根据三垂线定理知,CD⊥PD,
∴∠PDA是二面角,
P﹣CD﹣B的平面角,则∠PDA=45°
于是,△PAD是等腰直角三角形,
∴AF⊥PD,又AF⊥CD,
∴AF⊥面PCD.而EM∥AF,
∴EM⊥面PCD.又EM平面PEC,
∴面PEC⊥面PCD.…(8分)
在面PCD内过F作FH⊥PC于H,
则FH为点F到平面PCE的距离.
由已知,PD=2 ,PF= .
∵△PFH∽△PCD,
∴
【解析】(Ⅰ)取PC中点M,连接ME、MF.由 ,知AE∥FM,且AE=FM,由此能证明四边形AFME是平行四边形,从而得到AF∥平面PCE.(Ⅱ)由PA⊥平面AC,CD⊥AD,根据三垂线定理知,CD⊥PD,故∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角,所以△PAD是等腰直角三角形,由AF⊥PD,AF⊥CD,得到面PEC⊥面PCD,由此入手能够求出点F到平面PCE的距离.
【题目】几个月前,成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车,这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题,然而,这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题,比如乱停乱放,或将共享单车占为“私有”等. 为此,某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人,他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表:
年龄 | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
受访人数 | 5 | 6 | 15 | 9 | 10 | 5 |
支持发展 | 4 | 5 | 12 | 9 | 7 | 3 |
(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系;
年龄低于35岁 | 年龄不低于35岁 | 合计 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合计 |
(2)若对年龄在[15,20)[20,25)的被调查人中随机选取两人进行调查,记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望. 参考数据:
P(K2≥k) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.