题目内容

【题目】如图,PA⊥平面AC,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、PD的中点.
(Ⅰ)求证:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)若二面角P﹣CD﹣B为45°,AD=2,CD=3,求点F到平面PCE的距离.

【答案】解:(Ⅰ)取PC中点M,连接ME、MF. ∵
∴AE∥FM,且AE=FM,
即四边形AFME是平行四边形,
∴AF∥EM,∵AF平在PCE,
∴AF∥平面PCE.
(Ⅱ)∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,
根据三垂线定理知,CD⊥PD,
∴∠PDA是二面角,
P﹣CD﹣B的平面角,则∠PDA=45°
于是,△PAD是等腰直角三角形,
∴AF⊥PD,又AF⊥CD,
∴AF⊥面PCD.而EM∥AF,
∴EM⊥面PCD.又EM平面PEC,
∴面PEC⊥面PCD.…(8分)
在面PCD内过F作FH⊥PC于H,
则FH为点F到平面PCE的距离.
由已知,PD=2 ,PF=
∵△PFH∽△PCD,

【解析】(Ⅰ)取PC中点M,连接ME、MF.由 ,知AE∥FM,且AE=FM,由此能证明四边形AFME是平行四边形,从而得到AF∥平面PCE.(Ⅱ)由PA⊥平面AC,CD⊥AD,根据三垂线定理知,CD⊥PD,故∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角,所以△PAD是等腰直角三角形,由AF⊥PD,AF⊥CD,得到面PEC⊥面PCD,由此入手能够求出点F到平面PCE的距离.

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