题目内容
已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线()与椭圆交于、两点,线段 的垂直平分线交轴于点,当变化时,求面积的最大值.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线()与椭圆交于、两点,线段 的垂直平分线交轴于点,当变化时,求面积的最大值.
(1);(2).
试题分析:(1)求椭圆的标准方程,要找两个等式以确定,本题中有焦点为,说明,又有离心率,即,由此再加上可得结论;(2)直线与圆锥曲线相交问题,又涉及到交点弦,因此我们都是把直线方程(或设出)与椭圆方程联立方程组,然后消去(有时也可消去)得关于(或)的一元二次方程,再设交点为坐标为,则可得,,(用表示),同时这个方程中判别式(直线与椭圆相交),可得出的取值范围.由此可由公式是直线的斜率得出弦长,中点横坐标为,进而可写出的中垂线方程,与相交的交点的坐标可得,于是有,这是关于的一个函数,利用函数的知识或不等式的性质可求得最大值.
试题解析:(1)由已知椭圆的焦点在轴上,,,
,, 2分
椭圆的方程为 4分
(2),消去得
直线与椭圆有两个交点,,可得(*) 6分
设,
,,弦长, 8分
中点, 设,,,
, 11分
,时,, 14分
(或:
.
当且仅当时成立,.(用其它解法相应给分)
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