题目内容

（4-2 矩阵与变换选做题）已知曲线C：y2-x2=2．
（1）将曲线C绕坐标原点顺时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；
（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．
分析：（1）先求出旋转变换矩阵M，再推出任意一点在M的作用下后的点，代入已知曲线方程即可；
（2）先求出曲线y2-x2=2的焦点坐标与渐近线方程，然后将焦点坐标在旋转变换矩阵的作用下后的点，以及将渐近线方程在旋转变换矩阵的作用下后的渐近线方程．
解答：解：（1）
.
2
2
2
2
-
2
2
2
2
.
.
x
y
.
=
.
2
2
x+
2
2
y
-
2
2
x+
2
2
y
.
=
.
x′
y′
.
（2分）
得到
x′=
2
2
 x+
2
2
 y
y′=-
2
2
 x+
2
2
 y
，得到
x=
2
2
 x′-
2
2
 y′
y=
2
2
 x′+
2
2
 y′
代入y2-x2=2，得y=
1
x
（5分）
（2）曲线y2-x2=2的焦点坐标是（0，-2），（0，2），渐近线方程x±y=0，
将点（0，-2），（0，2）分别代入
x′=
2
2
 x+
2
2
 y
y′=-
2
2
 x+
2
2
 y
，得到(-
2
，-
2
)，(
2
，
2
)（7分）
将
x=
2
2
 x′-
2
2
 y′
y=
2
2
 x′+
2
2
 y′
代入，得到x′=0和y′=0；（9分）
矩阵变换后，曲线C′的焦点坐标是(-
2
，-
2
)，(
2
，
2
)．曲线C′的渐近线方程为x=0和y=0．
点评：本题主要考查了旋转变换，以及简单曲线曲线的焦点坐标和渐近线方程等有关知识，同时考查了计算能力，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
选做题
A．选修4-2矩阵与变换
已知矩阵A=
.
12
-14
.
，向量
a
=
.
7
4
.
．
（Ⅰ）求A的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2；   （Ⅱ）计算A6α的值．
B．选修4-4坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为
x=4-2t
y=t-2
（t为参数），P是椭圆
x2
4
+y2=1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．
（“选修4-2矩阵与变换”）
已知y=f（x）的图象（如图1）经A=
.
ab
cd
.
作用后变换为曲线C（如图2）．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值．
选修4-2   矩阵与变换
T是将平面上每个点M（x，y）的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点M（2x，4y）．圆C：x2+y2=1在变换T的作用下变成了什么图形？
（2012•江苏一模）选修4-2  矩阵与变换
若点A（2，2）在矩阵M=
cosα-sinα
sinαcosα
对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵．
（选修4-2矩阵与变换）已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A（1，2）变成了点A′（4，5）点B（3，-1）变成了点B′（5，1）．
（1）求矩阵M；
（2）若在矩阵M的变换作用下，点C（x，0）变成了点C′（4，y），求x，y．

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