Question

选做题
A．选修4-2矩阵与变换
已知矩阵A=

.

1 2 -1 4

.

，向量

a

=

.

7 4

.

．
（Ⅰ）求A的特征值λ₁、λ₂和特征向量α₁、α₂；   （Ⅱ）计算A⁶α的值．
B．选修4-4坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为

x=4-2t y=t-2

（t为参数），P是椭圆

x2

4

+y2=1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析：A：（I）本题考查矩阵的特征值及特征向量，先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（II）对某个向量连续施行多次变化的计算；
B：将直线的参数方程化成普通方程为x+2y=0，并设椭圆上任一点P为（2cosθ，sinθ），则可根据点到直线的距离公式得到：P到直线l的距离是一个关于θ的函数，即可求解

解答：A解：（Ⅰ）矩阵A的特征多项式为：f（λ）=

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=λ²-5λ+6=0
得：λ₁=2，λ₂=3，当λ₁=2时，解得α₁=（2，1）
当λ₂=3时，解得α₂=（1，1）．
（Ⅱ）由α=mα₁+nα₂
得

2m+n=7 m+n=4

解得：

m=3 n=1

由（2）得：A⁵α=A⁵（3α₁+α₂）=3（A⁵α₁）+A⁵α₂=3（λ₁⁵α₁）+λ₂⁵α₂=3×2⁵×（2，1）+3⁵×（1，1）=（435，339）
B．坐标系与参数方程
解：直线l的参数方程为

x=4-2t y=t-2

（t为参数）故直线l的普通方程为x+2y=0
因为p为椭圆

x2

4

+y2=1上任意点，故可设P（2cosθ，sinθ）其中θ∈R．
因此点P到直线l的距离是d=

|2cosθ+2sinθ|

12+22

=

2 2 |sin(θ+ π 4 )|

5

所以当θ=kπ+

π

4

，k∈z时，d取得最大值

2 5

5

．

点评：本题考查了二阶矩阵，直线的参数方程，直线与圆锥曲线的综合问题属于基础题．