题目内容
【题目】椭圆 =1(a>b>0)的离心率为
,右焦点到直线x+y+
=0的距离为2
. (Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 过点M(0,﹣1)作直线l交椭圆于A,B两点,交x轴于N点,满足 =﹣
,求直线l的方程.
【答案】解:(Ⅰ)∵椭圆的离心率为 ,右焦点到直线x+y+
=0的距离为2
, ∴
∴c= ,a=2
,
∴b= ,
∴椭圆的方程为 ;
(Ⅱ)设A (x1 , y1),B(x2 , y2),N(x0 , 0)
∵ =﹣
,
∴(x1﹣x0 , y1)=﹣ (x2﹣x0 , y2)
∴y1=﹣ y2①
易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立
于是设直线l的方程为y=kx﹣1(k≠0).
与椭圆方程联立,消去x可得(4k2+1)y2+2y+1﹣8k2=0②
∴y1+y2=﹣ ③y1y2=
④
由①③可得y2= ,y1=﹣
代入④整理可得:8k4+k2﹣9=0
∴k2=1
此时②为5y2+2y﹣7=0,判别式大于0
∴直线l的方程为y=±x﹣1
【解析】(Ⅰ)根据圆的离心率为 ,右焦点到直线x+y+
=0的距离为2
,建立方程组,可求椭圆的方程;(Ⅱ)设A (x1 , y1),B(x2 , y2),N(x0 , 0),利用
=﹣
,可得(x1﹣x0 , y1)=﹣
(x2﹣x0 , y2),设直线l的方程为y=kx﹣1(k≠0),与椭圆方程联立,消去x可得(4k2+1)y2+2y+1﹣8k2=0,由此即可求得直线l的方程.
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