Question

9．已知函数$f（x）=\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$为奇函数，且定义域为（-1，1），$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，再据$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$可求出a的值，即可求f（x）的解析式．

解答 解：∵函数$f（x）=\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$是定义域为（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，∴b=0；
又$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，∴$\frac{\frac{1}{2}a}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{5}$
∴a=1．
∴f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性，充分理解以上性质是解决问题的关键．利用已证结论解决问题是常用的方法，注意体会和使用．