题目内容
18．
长为1，宽为a（$\frac{1}{2}$＜a＜1）的矩形纸片，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第1次操作），剩下矩形长为原矩形的宽，如图，再剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第2次操作），剩下矩形长为第二个矩形的宽，如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．（1）当a=$\frac{3}{5}$时，求正整数n的最大值；
（2）记第一个矩形的长为a1=1，第二个矩形的长为a2=a，以此类推，第n个矩形的长为an，数列{an}的前n项和为Sn．若存在一个正数a（$\frac{1}{2}$＜a＜1），使对于任意的正整数n（n≥3），都有an+1＜an，求证2＜Sn＜3．
分析 （1）求出n=1，2，3时，剩下矩形的长和宽，即可得到n的最大值；
（2）求出数列{an}的前n项，再将n-2个式子相加，可得Sn=2+a-an-1，再结合a的范围和不等式的性质，即可得证．
解答 解：（1）当n=1时，即进行第一次操作后，剩下矩形的长为a=$\frac{3}{5}$，
此时矩形的宽为1-$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{5}$；
当n=2时，即进行第二次操作后，剩下矩形的长为$\frac{2}{5}$，
此时矩形的宽为$\frac{3}{5}$-$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{5}$；
当n=3时，即进行第三次操作后，剩下矩形的长为$\frac{1}{5}$，
此时矩形的宽为$\frac{2}{5}$-$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{5}$．
依题意，此时操作停止，
故所求正整数n的最小值为3；
（2）证明：由题意，可得数列{an}满足a1=1，a2=a，a3=a1-a2，
a4=a2-a3，…，an=an-2-an-1，（n≥3，n∈N），
将以后n-2个式子相加，可得
Sn-a1-a2=a1-an-1，即Sn-1-a=1-an-1，
则Sn=2+a-an-1，
由$\frac{1}{2}$＜a＜1，则当n≥3时，0＜an-1＜a＜1，
即有a+2-an-1＜2+a＜2+1=3，
又2+a-an-1＞2+a-a=2，
则有2＜Sn＜3．
点评 本题考查操作型的应用题的解法，考查数列的求和方法：累加法和相消求和，考查不等式的性质，属于中档题．
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