Question

19．如果对任意x、y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2．
（1）求f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）求$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+$\frac{f（6）}{f（5）}$+…+$\frac{f（2012）}{f（2011）}$+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$+$\frac{f（2016）}{f（2014）}$．

Answer 1

分析 （1）令y=1，得$\frac{f（x+1）}{f（x）}=2$，利用赋值法进行求解．
（2）利用$\frac{f（x+1）}{f（x）}=2$，即可$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（3）}{f（2）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+^+$\frac{f（2011）}{f（2010）}$的值．

解答 解：（1）∵f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=2，
∴令y=1，则f（x+1）=f（x）•f（1）=2f（x），
∵f（1）=2，
∴f（2）=2f（1）=2×2=4，
f（3）=2f（2）=2×4=8，
f（4）=2f（3）=2×8=16．
（2）∵$\frac{f（x+1）}{f（x）}=2$，
∴$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+$\frac{f（6）}{f（5）}$+…+$\frac{f（2012）}{f（2011）}$+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$+$\frac{f（2016）}{f（2014）}$=2+2+…2=2×1008=2016．

点评 本题主要考查函数值的计算，利用赋值法是解决抽象函数的常用方法．