Question

【题目】如图，已知圆，抛物线的顶点为，准线的方程为，为抛物线上的动点，过点作圆的两条切线与轴交于.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若，求△面积的最小值.

Answer 1

【答案】(1).

(2)32.

【解析】分析：（Ⅰ）根据抛物线的准线方程可得，故抛物线的方程可求出.

（Ⅱ）求出过的圆的切线的方程后可得两点的横坐标，它们可用及其相应的斜率表示，因此也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，利用韦达定理和消元后可用关于的函数表示，求出该函数的最小值即可.

详解：（Ⅰ）设抛物线的方程为，

则，∴，所以抛物线的方程是.

（Ⅱ）设切线，即，

切线与轴交点为，圆心到切线的

距离为，化简得

设两切线斜率分别为，则

=，当且仅当时取等号.

所以切线与轴围成的三角形面积的最小值为32.