题目内容
【题目】已知在直三棱柱中,,,,,,点在线段上.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(I)证明见解析;(II).
【解析】
试题分析:(1)根据边角关系得到,进而得到,,,∴,又因为是直三棱柱,故,进而得到线线垂直;(2)建立坐标系,求平面的法向量,平面的法向量,根据向量夹角的求法得到余弦值.
解析:
(Ⅰ)不妨设,则,,,.
在和中,,,
∴,∴,
∴ ,∴,即;
∵,,∴,
∵为直三棱柱,∴平面,∴;
∴平面,∵点在线段上,∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面,建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设,则,,,,,,∴,,,.
设平面的法向量,则,
即,取,则,,
则平面的一个法向量;
设平面的法向量,则,即,
取,则,,则平面的一个法向量;
∴ ,
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
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