题目内容
【题目】已知在直三棱柱中,
,
,
,
,
,点
在线段
上.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(I)证明见解析;(II).
【解析】
试题分析:(1)根据边角关系得到,进而得到
,
,
,∴
,又因为是直三棱柱,故
,进而得到线线垂直;(2)建立坐标系,求平面
的法向量
,平面
的法向量
,根据向量夹角的求法得到余弦值.
解析:
(Ⅰ)不妨设,则
,
,
,
.
在和
中,
,
,
∴,∴
,
∴
,∴
,即
;
∵,
,∴
,
∵为直三棱柱,∴
平面
,∴
;
∴平面
,∵点
在线段
上,∴
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面
,建立如图所示的空间直角坐标系
,
不妨设,则
,
,
,
,
,
,∴
,
,
,
.
设平面的法向量
,则
,
即,取
,则
,
,
则平面的一个法向量
;
设平面的法向量
,则
,即
,
取,则
,
,则平面
的一个法向量
;
∴
,
故平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
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