题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数且
).在以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的极坐标方程及曲线
的直角坐标方程;
(2)若点在直线
上,点
在曲线
上,求证:
.
【答案】(1),
;(2)证明见解析.
【解析】
(1)先将直线的参数方程化为普通方程,再将直线
的普通方程转化为极坐标方程,利用
可将曲线
的极坐标方程转化为直角坐标方程;
(2)设点的坐标为
,利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性可证明出
.
(1)在直线的参数方程
(
为参数且
)中消去参数
得
,所以,直线
的极坐标方程为
.
曲线的极坐标方程为
,即
,即
,
转化为直角坐标方程为,即
;
(2)曲线的参数方程为
(
为参数),
设点的坐标为
,则点
到直线
的距离为
,
因此,.
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