Question

已知函数．
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）这是一个由函数在某区间上是增函数，求参数取值范围的问题，可转化为其导函数在此区间上恒大于或等于0的一个恒成立问题，恒成立问题是我们所熟悉的问题，可分离参数解答，也可由函数本身的性质作出判断；（2）这是一个求含参函数在某区间上的最小值问题，可通过导数的符号去判断函数的单调区间，当然一般会涉及对参数的讨论，之后利用单调性则可求出函数的最小值，再由最小值为3，就可求出参数的值.
试题解析：（1）∵，∴．
∵在上是增函数，
∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立．
令，则≤．
∵在上是增函数，∴．
∴≤1．所以实数的取值范围为．
（2）由（1）得，．
①若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数．
所以，解得（舍去）．
②若，令，得．当时，，所以在上是减函数，当时，，所以在上是增函数．
所以，解得（舍去）．
③若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数．
所以，所以．