题目内容
【题目】如图1,在直角梯形ADCE中,AD∥EC,∠ADC=90°,AB⊥EC,AB=EB=1, .将△ABE沿AB折到△ABE1的位置,使∠BE1C=90°.M,N分别为BE1 , CD的中点.如图2.
(1)求证:MN∥平面ADE1;
(2)求证:AM⊥E1C;
(3)求平面AE1N与平面BE1C所成锐二面角的余弦值.
【答案】
(1)证明:由题意,以E1为原点,E1B为x轴,E1C为y轴,过E1作平面E1BC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则M( ,0,0),N(0,1,
),E1(0,0,0),A(1,0,1),D(0,1,1),
=(﹣
,1,
),
=(1,0,1),
=(0,1,1),
设平面ADE1的法向量 =(x,y,z),
则 ,取x=1,得
=(1,1,﹣1),
∵ =﹣
=0,∴
⊥
,
又MN平面ADE1,∴MN∥平面ADE1.
(2)证明:C(0,1,0), =(﹣
,0,﹣1),
=(0,1,0),
∴ =0,
∴AM⊥E1C.
(3)解: =(1,0,1),
=(0,1,
),
设平面AE1N的法向量 =(x,y,z),
则 ,取x=2,得
=(2,1,﹣2),
又平面BE1C的法向量 =(0,0,1),
cos< >=
=
,
∴平面AE1N与平面BE1C所成锐二面角的余弦值为 .
【解析】(1)由题意,以E1为原点,E1B为x轴,E1C为y轴,过E1作平面E1BC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明AM⊥E1C.(3)求出平面AE1N的法向量和平面BE1C的法向量,利用向量法能求出平面AE1N与平面BE1C所成锐二面角的余弦值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行).
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
【题目】某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩,分为5组制出频率分布直方图如图所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
1 | 5 | 0.05 | |
2 | 35 | 0.35 | |
3 | |||
4 | |||
5 | 10 | 0.1 |
(1)求的值.
2)该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试,则每组应各抽多少名学生?
(3)在(2)的前提下,从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试,求这2名学生来自同一组的概率.