题目内容

【题目】如图1,在直角梯形ADCE中,AD∥EC,∠ADC=90°,AB⊥EC,AB=EB=1, .将△ABE沿AB折到△ABE1的位置,使∠BE1C=90°.M,N分别为BE1 , CD的中点.如图2.

(1)求证:MN∥平面ADE1
(2)求证:AM⊥E1C;
(3)求平面AE1N与平面BE1C所成锐二面角的余弦值.

【答案】
(1)证明:由题意,以E1为原点,E1B为x轴,E1C为y轴,过E1作平面E1BC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,

则M( ,0,0),N(0,1, ),E1(0,0,0),A(1,0,1),D(0,1,1),

=(﹣ ,1, ), =(1,0,1), =(0,1,1),

设平面ADE1的法向量 =(x,y,z),

,取x=1,得 =(1,1,﹣1),

=﹣ =0,∴

又MN平面ADE1,∴MN∥平面ADE1


(2)证明:C(0,1,0), =(﹣ ,0,﹣1), =(0,1,0),

=0,

∴AM⊥E1C.


(3)解: =(1,0,1), =(0,1, ),

设平面AE1N的法向量 =(x,y,z),

,取x=2,得 =(2,1,﹣2),

又平面BE1C的法向量 =(0,0,1),

cos< >= =

∴平面AE1N与平面BE1C所成锐二面角的余弦值为


【解析】(1)由题意,以E1为原点,E1B为x轴,E1C为y轴,过E1作平面E1BC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明AM⊥E1C.(3)求出平面AE1N的法向量和平面BE1C的法向量,利用向量法能求出平面AE1N与平面BE1C所成锐二面角的余弦值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行).

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