Question

【题目】设函数f（x）=（x﹣a）ex+（a﹣1）x+a，a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设g（x）=f′（x），证明：当a＞2时，函数g（x）在（0，+∞）上仅有一个零点；
（3）若对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=（x﹣1）ex+1，

f（x）的导数为f'（x）=xex，

可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为e，切点（1，1），

即有切线的方程为y﹣1=e（x﹣1），

即为y=ex+1﹣e；

（2）解：证明：g（x）=f'（x）=ex（x﹣a+1）+（a﹣1），

∴g'（x）=ex（x﹣a+2），

当g'（x）＜0时，x＜a﹣2；当g'（x）＞0时，x＞a﹣2

∵a＞2，

∴函数g（x）在（0，a﹣2）上递减；在（a﹣2，+∞）上递增，

又∵g（0）=0，g（a）=ea+a﹣1＞0，

当a＞2时，函数g（x）在（0，+∞）上仅有一个零点；

（3）解：对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，

即为（x﹣a）ex+（a﹣1）x+a≤0对任意的x∈[0，2]恒成立，

显然x=0时，0≤0成立；

当0＜x≤2时，（xex﹣x）+a（1+x﹣ex）≤0成立，

由1+x﹣ex的导数为1﹣ex，当0＜x≤2时，1﹣ex＜0，

函数1+x﹣ex递减，即有1+x﹣ex＜0，

则a≥ 在0＜x≤2恒成立，

令h（x）= 的导数为h′（x）= ，

由（1﹣ex）2﹣x2ex的导数为ex（2ex﹣2﹣x2﹣2x），

由2ex﹣2﹣x2﹣2x的导数为2ex﹣2x﹣2=2（ex﹣x﹣1），

由ex﹣x﹣1的导数为ex﹣1，在x＞0时，ex﹣x﹣1递增，且大于0，

则2ex﹣2﹣x2﹣2x递增，且大于0；即有（1﹣ex）2﹣x2ex递增，大于0；

则h（x）在（0，2]递增，且有h（x）≤h（2）= ，

故a的范围是a≥ ．

【解析】（1）当a=1时，f（x）=（x﹣1）ex+1，求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）由g（x）=f'（x）=ex（x﹣a+1）+（a﹣1），得到g'（x）=ex（x﹣a+2），从而函数g（x）在（0，a﹣2）上递减；在（a﹣2，+∞）上递增，再代入特殊值进而证得结论成立；（3）对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，即为（x﹣a）ex+（a﹣1）x+a≤0对任意的x∈[0，2]恒成立，显然x=0时，0≤0成立；当0＜x≤2时，（xex﹣x）+a（1+x﹣ex）≤0成立，判断1+x﹣ex＜0，运用参数分离和构造函数，求出导数，判断单调性，求得最大值即可得到所求范围．