Question

4．已知函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）在[-1，1]上的函数值总小于2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 问题等价于x∈[-1，1]时f（x）_max＜2，
讨论a＞1和0＜a＜1时，利用指数函数的单调性求出最大值，从而求出结果．

解答 解：∵函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）在[-1，1]上的函数值总小于2，
∴f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，1]上的最大值小于2，
①当a＞1时，f（x）_max=f（1）=a＜2，解得1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，f（x）_max=f（-1）=$\frac{1}{a}$＜2，解得$\frac{1}{2}$＜a＜1；
综上，实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）∪（1，2）．

点评 本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题目．