Question

【题目】已知直线l：

1证明直线l经过定点并求此点的坐标；

2若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

3若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）定点（﹣2，1）（2）k≥0；（3）见解析

【解析】

分析：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，直线l过定点（-2，1）；（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围；
（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值.

（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，

故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．

（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，

要使直线l不经过第四象限，则，

解得k的取值范围是k≥0．

（3）依题意，直线l: y=kx+2k+1，在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，

∴A（﹣，0），B（0，1+2k），

又﹣＜0且1+2k＞0，

∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）

=（4k++4）≥（4+4）=4，

当且仅当4k=，即k=或-时，取等号，当k=-时直线过原点，不存在三角形，故舍掉.

此时直线方程为：