Question

【题目】已知曲线C:x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0,其中k≠－1.

(1)求证:曲线C都表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上;

(2)证明:曲线C过定点;

(3)若曲线C与x轴相切,求k的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

(1) 将方程配方得到圆的标准方程，由k≠－1可得曲线一定表示圆；根据圆心的坐标，消去参数可得圆心所在的直线方程。

(2) 将曲线方程变化为关于k的方程，进而令系数、常数都为0，即可求得所过的定点坐标。

(3) 因为与y轴相切，所以纵坐标的绝对值即为圆的半径，因而可求得k的值。

(1)原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.

∵k≠－1,

∴5(k＋1)2＞0.

故方程表示圆心为(－k,－2k－5),

半径为的圆.

设圆心为(x,y),有

消去k,得2x－y－5＝0.

∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上.

(2)将原方程变形成

k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0.

上式关于参数k是恒等式,

∴

解得

∴曲线C过定点(1,－3).

(3)∵圆C与x轴相切,

∴圆心到x轴的距离等于半径,

即|－2k－5|＝|k＋1|.

两边平方,得(2k＋5)2＝5(k＋1)2.

∴.