Question

【题目】已知等差数列和等比数列，其中的公差不为.设是数列

的前项和.若、、是数列的前项，且.

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）若数列为等差数列，求实数；

（Ⅲ）构造数列，，，，，，，，，…，，，，，…，，…，

若该数列前项和，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)或;(Ⅲ)34.

【解析】试题分析：

(1)由题意列出方程组求得数列的首项，公差，则其通项公式为，进一步即可求得数列的通项公式为

(2)利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数列出方程组，求解方程组可得或;

(3)结合题意分组求和得到关于m的方程，解方程讨论可得.

试题解析：

（Ⅰ）设等差数列的公差为（），由、、是数列的前项，且

得，因为，所以，故的通项公式为；而，，所以等比数列的公比，

的通项公式为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为数列为等差数列，所以可设，，，

所以即对总成立，不妨设，，，

则对总成立，取，

，得，解得，即，

解得或．令．

当时，，因为，所以为等差数列；

当时，，因为，所以为等差数列．

综上，或．

另解：由（Ⅰ）知，因为数列为等差数列，所以，，必成等差数列，所以，即，解得或．

令．

当时，，因为，所以为等差数列；

当时，，因为，所以为等差数列．

综上，或．

（Ⅲ）设从到各项的和为，则

因为，所以

，因此

．

当时，，当时，，所以，可设 后面有项，则，所以，，因此

，即的值为．