Question

7．当k∈R时，讨论函数f（x）=lnx-$\frac{x}{e}$+k，（x＞0）的零点个数．

Answer 1

分析 求导f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$，从而确定函数的单调性及最值，从而判断零点的个数．

解答 解：∵f（x）=lnx-$\frac{x}{e}$+k，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$，
故当x∈（0，e）时，f′（x）＞0；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数；
故f_max（x）=f（e）=1-1+k=k，
故当k＜0时，函数f（x）=lnx-$\frac{x}{e}$+k没有零点，
当k=0时，函数f（x）=lnx-$\frac{x}{e}$+k有一个零点，
当k＞0时，函数f（x）=lnx-$\frac{x}{e}$+k有两个零点．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．