Question

17．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足下列三个条件：
①f（2）=-1；②对任意实数x，y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y）；③当0＜x＜1时，f（x）＞0．
（1）求f（4），f（$\sqrt{2}$）的值；
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）解关于x的不等式f（2x）＜f（x-1）-2．

Answer 1

分析 （1）根据条件②可分别令x=y=2和x=y=$\sqrt{2}$，便可得出f（4）=-2，$f（\sqrt{2}）=-\frac{1}{2}$；
（2）根据单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），而条件中f（x）+f（y）可以变成f（xy），可考虑将这里的“-”号变成“+”号：可令x=x₁，y=$\frac{1}{{x}_{1}}$，从而可以得到f（1）=$f（{x}_{1}）+f（\frac{1}{{x}_{1}}）$，而可以求出f（1）=0，从而可得到$-f（x）=f（\frac{1}{x}）$，这样便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=f（{x}_{1}）+f（\frac{1}{{x}_{2}}）=f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）$，而由条件③可以得出f（x₁）＞f（x₂），从而根据减函数的定义得到函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）根据条件及求出的f（4）=-2，可将原不等式变成f（2x）＜f（4x-4），这样根据f（x）的单调性便可得到$\left\{\begin{array}{l}{4x-4＞0}\\{2x＞4x-4}\end{array}\right.$，解该不等式便可得出原不等式的解．

解答 解：（1）令x=y=2得，f（2•2）=f（2）+f（2）=-2，∴f（4）=-2，令x=y=$\sqrt{2}$得，f（$\sqrt{2}•\sqrt{2}$）=f（$\sqrt{2}$）+f（$\sqrt{2}$）=-1，∴$f（\sqrt{2}）=-\frac{1}{2}$；
（2）设0＜x₁＜x₂；
先令x=x₁，$y=\frac{1}{{x}_{1}}$，则$f（{x}_{1}•\frac{1}{{x}_{1}}）=f（{x}_{1}）+f（\frac{1}{{x}_{1}}）$；
即$f（1）=f（x）+f（\frac{1}{x}）$；
令x=x₁，y=1，则f（x₁•1）=f（x₁）+f（1）；
∴f（1）=0；
∴$f（x）+f（\frac{1}{x}）=0$；
∴$-f（x）=f（\frac{1}{x}）$；
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=f（{x}_{1}）+f（\frac{1}{{x}_{2}}）=f（{x}_{1}•\frac{1}{{x}_{2}}）$；
即$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）$；
∵0＜x₁＜x₂；
∴$0＜\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＜1$；
∵0＜x＜1时，f（x）＞0；
∴$f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）f（4）=-2；
∴由f（2x）＜f（x-1）-2得，f（2x）＜f（x-1）+f（4）=f（4（x-1））；
∵f（x）在（0，+∞）上为减函数；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{2x＞4x-4}\end{array}\right.$；
∴1＜x＜2；
∴不等式的解为（1，2）．

点评 考查对题中条件②的灵活运用，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），以及根据减函数的定义解不等式．