Question

2．已知函数f（x）=x²+（a+2）x+b，f（-1）=-2，对于x∈R，f（x）≥2x恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）设函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$-4
①证明：函数g（x）在区间[1，∞]上是增函数；
②是否存在正实数m＜n，当m≤x≤n时函数g（x）的值域为[m+2，n+2]，若存求在出m，n的值，若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件可得b=a-1，x²+ax+b≥0恒成立，即有△=a²-4b≤0，即可求得a=2，b=1，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求得g（x）的解析式，①运用单调性定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
②假设存在正实数m＜n，当m≤x≤n时函数g（x）的值域为[m+2，n+2]．对m，n讨论，结合单调性和最值，得到方程，解方程即可判断．

解答 解：（Ⅰ）f（-1）=-2，可得1-（a+2）+b=-2，即有b=a-1，
对于x∈R，f（x）≥2x恒成立，即为x²+ax+b≥0恒成立，
即有△=a²-4b≤0，即为a²-4（a-1）≤0，
可得a=2，b=1．
则f（x）=x²+4x+1；
（Ⅱ）设函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$-4=x+$\frac{1}{x}$，
①证明：设1≤x₁＜x₂，则g（x₁）-g（x₂）
=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
由1≤x₁＜x₂，可得x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即有f（x₁）-f（x₂）＜0，
则函数g（x）在[1，+∞）上是增函数；
②假设存在正实数m＜n，当m≤x≤n时函数g（x）的值域为[m+2，n+2]．
若0＜m＜n≤1，则g（x）递减，即有g（m）=n+2，g（n）=m+2，
即为m+$\frac{1}{m}$=n+2，n+$\frac{1}{n}$=m+2，可得m=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，n=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，不成立舍去；
若1≤m＜n，则g（x）递增，即有g（m）=m+2，g（n）=n+2，
即为m+$\frac{1}{m}$=m+2，n+$\frac{1}{n}$=n+2，可得m=n=$\frac{1}{2}$，不成立舍去；
若0＜m＜1＜n，则g（1）取得最小值，且为2，即有m+2=1，可得m=-1，不成立舍去．
综上可得，不存在正实数m＜n，当m≤x≤n时函数g（x）的值域为[m+2，n+2]．

点评 本题考查函数的解析式和定义域、值域的求法，考查单调性的判断和运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．