Question

已知是椭圆和双曲线的公共顶点。是双曲线上的动点,是椭圆上的动点（、都异于、），且满足，其中，设直线、、、的斜率分别记为, ,则              

Answer 1

-5 

解析试题分析：设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足

及其斜率的计算公式即可求出．解：∵A，B是椭圆和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A（﹣a，0），B（a，0）．
设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），∵，其中λ∈R，∴（x₁+a，y₁）+（x₁﹣a，y₁）=λ[（x₂+a，y₂）+（x₂﹣a，y₂）]，化为x₁y₂=x₂y₁．
∵P、M都异于A、B，∴y₁≠0，y₂≠0．∴．
由k₁+k₂==5，化为，（*）
又∵，∴，代入（*）化为．
k₃+k₄==，又，
∴，
∴k₃+k₄===﹣5．
故答案为﹣5．
考点：双曲线和椭圆的方程
点评：熟练掌握点在曲线上的意义、双曲线和椭圆的方程、向量的运算性质、斜率的计算公式是解题的关键，同时本题需要较强的计算能力