Question

15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标是（-4，0）．

Answer 1

分析 设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．

解答 解：设C（m，n），由重心坐标公式得，
三角形ABC的重心为（$\frac{2+m}{3}，\frac{4+n}{3}$），
代入欧拉线方程得：$\frac{2+m}{3}-\frac{4+n}{3}+2=0$，
整理得：m-n+4=0  ①
AB的中点为（1，2），${k}_{AB}=\frac{4-0}{0-2}=-2$，
AB的中垂线方程为y-2=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+3=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+3=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴△ABC的外心为（-1，1）．
则（m+1）²+（n-1）²=3²+1²=10，
整理得：m²+n²+2m-2n=8  ②
联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
当m=0，n=4时B，C重合，舍去．
∴顶点C的坐标是（-4，0）．
故答案为：（-4，0）．

点评 本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法．