Question

16．（1）已知f（2x+1）=$\frac{4x+1}{2x-1}$，求f（x）表达式和值域；
（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）根据换元法求出函数的表达式，从而求出函数的值域即可；
（2）由题意设f（x）=ax+b，利用f（x）满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，利用恒等式的对应项系数相等即可得出．

解答 解：（1）令2x+1=t，则x=$\frac{t-1}{2}$，
∴f（t）=$\frac{2（t-1）+1}{t-1-1}$=$\frac{2t-1}{t-2}$，（t≠2），
∴f（x）=$\frac{2x-1}{x-2}$，（x≠2），
而f（x）=$\frac{2x-1}{x-2}$=2+$\frac{3}{x-2}$，
∵y=$\frac{3}{x-2}$的值域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
∴函数f（x）的值域是（-∞，2）∪（2，+∞）；
（2）由题意设f（x）=ax+b，（a≠0）．
∵f（x）满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，
∴3[a（x+1）+b]-2[a（x-1）+b]=2x+17，
化为ax+（5a+b）=2x+17，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{5a+b=17}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴f（x）=2x+7．

点评 本题考查了求函数的解析式和恒等式的性质，是一道中档题．