Question

5．讨论函数f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$在（1，+∞）的单调性，并求最小值．

Answer 1

分析 根据单调性的定义，设任意的x₁＞x₂＞1，然后作差，提取公因式x₁-x₂，便得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）[1-\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}]$，x₁-x₂的符号可以确定，而要判断$1-\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$的符号，可以看出分x₁，x₂∈（1，2），和x₁，x₂∈（2，+∞）这两个区间去判断，这样便可判断出f（x₁）与f（x₂）的大小关系，从而判断出f（x）的单调性，并且可以求出f（x）的最小值．

解答 解：设x₁＞x₂＞1，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}-1}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}-1}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）[1-\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}]$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₁-x₂＞0；
∴①x₁，x₂∈（1，2）时，0＜x₁-1＜1，0＜x₂-1＜1；
∴$1-\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（1，2）上单调递减；
②x₁，x₂∈（2，+∞）时，x₁-1＞1，x₂-1＞1；
∴$1-\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[2，+∞）上单调递增；
∴x=2时，f（x）取最小值3．

点评 考查函数单调性的定义，以及根据单调性的定义讨论一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差后一般需提取公因式x₁-x₂，并且是分式的要通分，根据单调性求函数的最小值．