Question

15．方程x³-6x²+9x-10=0的实数根有1个．

Answer 1

分析 应用导数的几何意义易判断函数的增减性，然后根据极值判断实根的个数．

解答 解：设f（x）=x³-6x²+9x-10，
则f′（x）=3x²-12x+9，
令f′（x）=0得x₁=1或x=3．
∴x≤1时，f（x）单调递增，极大值为-6；
当1＜x≤3时，f（x）单调递减，极小值为-10；
当x＞3时，f（x）单调递增，极小值为-10，
由上分析知y=f（x）的图象如图，与x轴只有一个公共点，
所以方程x³-6x²+9x-10=0只有一个实根．
故答案为：1．

点评 本题考查方程和函数的关系，导数的运用：求单调区间和极值，考查数形结合的数学思想，属于中档题．