题目内容
【题目】已知椭圆的中心在原点
,焦点在
轴上,左右焦点分别为
,
,离心率为
,右焦点到右顶点的距离为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)过 的直线
与椭圆
交于不同的两点
,
,则
的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1); (2)
的面积取得最大值3,
.
【解析】
(1)利用待定系数法结合题意求解椭圆方程即可;
(2)很明显直线的斜率不为零,设出直线方程的x轴截距形式,得到面积函数,结合函数的性质确定面积最大时的直线方程即可.
(1)设椭圆:
因为,
所以
即椭圆:
.
(2)设,不妨设
由题知,直线的斜率不为零,可设直线
的方程为
,
由得
,
则 ,
∴,
令,可知
则
,
∴
令,则
,
当时,
,即
在区间
上单调递增,
∴,∴
,
即当时,
的面积取得最大值3,
此时直线的方程为.
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