题目内容
【题目】某公司生产了
两种产品投放市场，计划每年对这两种产品托人200万元，每种产品一年至少投入20万元，其中
产品的年收益
，
产品的年收益
与投入
（单位万元）分别满足
；若公司有100名销售人员，按照对两种产品的销售业绩分为普销售、中级销售以及金牌销售，其中普销售28人，中级销售60人，金牌销售12人
（1）为了使两种产品的总收益之和最大，求产品每年的投入
（2）为了对表现良好的销售人员进行奖励，公司制定了两种奖励方案：
方案一：按分层抽样从三类销售中总共抽取25人给予奖励：普通销售奖励2300元，中级销售奖励5000元；金牌销售奖励8000元
方案二：每位销售都参加摸奖游戏，游戏规则：从一个装有3个白球，2个红球（求只有颜色不同）的箱子中，有放回地莫三次球，每次只能摸一只球.若摸到红球的总数为2，则可奖励1500元，若摸到红球总数是3，则可获得奖励3000元，其他情况不给予奖励，规定普通销售均可参加1次摸奖游戏；中级销售均可参加2次摸奖游戏，金牌销售均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立，奖励叠加）
（ⅰ）求方案一奖励的总金额；
（ⅱ）假设你是企业老板，试通过计算并结合实际说明，你会选择哪种方案奖励销售员.
【答案】（1）128 万元；（2）（i）
；（ii）采用方案二.
【解析】
（1）利用函数观点，得到
两种产品的总收益的相关函数，再求解
产品每年的收入.（2）1.分层抽样的观点，先得到各层的人数，进而求解相应的金额；2.利用方案二的分布列，进而求解期望，与方案相比较，进行判定.
（1）由题意，记A产品每年收入x万元，总收益之和为
，
则
，
依题意得
，解得
，
故函数的解析式为
，
令
，则
，
所以
，
所以当
时，取得最大值282.
所以A产品每年投入为 128 万元时，两种产品的总收益之和最大.
（2）由题意，①方案一、按分层抽样从普通销售、中级销售、金牌销售中总共抽取25人，其中普通销售、中级销售、金牌销售的人数分别是
，
可得按照方案一奖励的总金额为：
；
②方案二、设
表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能性为0，1500，3000
每次摸到红球的概率
所以
，
，
，
所以随机变量 的分布列为：
| 0 | 1500 | 3000 |
|
|
|
|
所以
，
则按照方案二奖励的总金额为
，
方案一奖励的总金额多于方案二的总金额，且方案二是对每个销售都发放奖励，有助于提高全体销售的销售积极性，故采用方案二.
