Question

3．已知函数f（x）=ln（x-a）+ax，求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 先求导，再分类讨论，当a≥0时，和a＜0时，分别利用导数求出单调区间和极值；

解答 解：（1）∵f（x）=ln（x-a）+ax，
∴函数f（x）的定义域为（a，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x-a}+a$=$\frac{ax-{a}^{2}+1}{x-a}$
当a≥0时，f′（x）＞0，函数在（a，+∞）为增函数，无极值
当a＜0时，令f′（x）=0，解得x=a-$\frac{1}{a}$＞a
当f′（x）＞0时，解得a＜x＜a-$\frac{1}{a}$，函数为增函数，
当f′（x）＜0时，解得x＞a-$\frac{1}{a}$，函数为减函数，
故当x=a-$\frac{1}{a}$，函数f（x）有极大值，极大值为f（a-$\frac{1}{a}$）=ln（-$\frac{1}{a}$）+a²-1，
综上所述，当a≥0时，函数f（x）在（-a，+∞）为增函数，无极值，
当a＜0时，函数f（x）在（a，a-$\frac{1}{a}$）为增函数，在（a-$\frac{1}{a}$，+∞）函数为减函数，函数f（x）有极大值，极大值为ln（-$\frac{1}{a}$）+a²-1．

点评 本题考查了导数和函数的单调性和极值的关系，对参数的分类讨论问题．