Question

11．已知等差数列{a_n}中，a₁=5，7a₂=4a₄，数列{b_n}前n项和为S_n，且S_n=2（b_n-1）（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（Ⅱ）设数列c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为奇数}\\{{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式可得d=3，再由数列通项和求和的关系，可得{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）讨论当n为偶数时，当n为奇数时，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
则7a₂=4a₄，即有7（5+d）=4（5+3d），
解得d=3，
则a_n=5+3（n-1）=3n+2；
由n=1时，S₁=2（b₁-1）=b₁，
解得b₁=2，
S_n=2（b_n-1）①
S_n-1=2（b_n-1-1）②
①-②可得，b_n=2b_n-2b_n-1，
即为b_n=2b_n-1，
b_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）设数列c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为奇数}\\{{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{3n+2，n为奇数}\\{{2}^{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，
当n为偶数时，T_n=（5+11+…+3n-1）+（4+16+…+2ⁿ）
=5•$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{n}{2}$（$\frac{n}{2}$-1）•6+$\frac{4（1-{4}^{\frac{n}{2}}）}{1-4}$
=$\frac{3}{4}$n²+n+$\frac{{2}^{n+2}}{3}$-$\frac{4}{3}$；
当n为奇数时，T_n=T_n-1+3n+2
=$\frac{3}{4}$（n-1）²+n-1+$\frac{{2}^{n+1}}{3}$-$\frac{4}{3}$+3n+2
=$\frac{3}{4}$n²+$\frac{5}{2}$n+$\frac{5}{12}$+$\frac{{2}^{n+1}}{3}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式，考查运算能力，属于中档题．